Critère de divisibilité par 9 - Corrigé

Énoncé

Démontrer qu'un entier est divisible par $9$ si, et seulement si, la somme de ses chiffres est divisible par $9$ .

Solution

Soit $N\in \mathbb{Z}$ qui s'écrit en base $10$ :  $N=\overline{a_n{a}_{n-1}...a_2{a}_1{a}_0}$  autrement dit : $N=a_n\times {10}^n+a_{n-1}\times {10}^{n-1}+...+a_2\times {10}^2+a_1\times {10}^1+a_0$  avec $a_n$ , $a_{n-1}$ , ..., $a_2$ , $a_1$ , $a_0$ compris entre $0$ et $9$ , et  $a_n\ne 0$ .
On remarque que $10\equiv 1[9]$ , donc pour tout $n\in \mathbb{N}$ , ${10}^n\equiv 1^n\equiv 1[9]$ .
On a alors : 
$\begin{array}{rl}N& =a_n\times {10}^n+a_{n-1}\times {10}^{n-1}+...+a_2\times {10}^2+a_1\times 10+a_0\\ & \equiv a_n\times 1+a_{n-1}\times 1+...+a_2\times 1+a_1\times 1+a_0[9]\\ & \equiv a_n+a_{n-1}+...+a_2+a_1+a_0[9]\end{array}$  
donc
  $\begin{array}{rl}N\text{ est divisible par }9& ⟺N\equiv 0[9]\\ & ⟺a_n+a_{n-1}+...+a_2+a_1+a_0\equiv 0[9]\\ & ⟺a_n+a_{n-1}+...+a_2+a_1+a_0\text{ est divisible par }9\end{array}$  

donc $N$ est divisible par $9$ si, et seulement si, la somme de ses chiffres est divisible par $9$ .