Critère de divisibilité par 9 - Corrigé

Énoncé

Démontrer qu'un entier est divisible par \(9\) si, et seulement si, la somme de ses chiffres est divisible par \(9\) .

Solution

Soit \(N \in \mathbb{Z}\) qui s'écrit en base \(10\) :  \(N=\overline{a_na_{n-1}...a_2a_1a_0}\)  autrement dit : \(N=a_n \times 10^n+a_{n-1} \times 10^{n-1}+...+a_2 \times 10^2+a_1 \times 10^1+a_0\)  avec \(a_n\) , \(a_{n-1}\) , ..., \(a_2\) , \(a_1\) , \(a_0\) compris entre \(0\) et \(9\) , et  \(a_n \neq 0\) .
On remarque que \(10 \equiv 1 \ [9]\) , donc pour tout \(n \in \mathbb{N}\) , \(10^n \equiv 1^n \equiv 1 \ [9]\) .
On a alors : 
\(\begin{align*}N& = a_n \times 10^n+a_{n-1} \times 10^{n-1}+...+a_2 \times 10^2+a_1 \times 10+a_0\\& \equiv a_n \times 1+a_{n-1} \times 1+...+a_2 \times 1+a_1 \times 1+a_0 \ [9]\\& \equiv a_n+a_{n-1}+...+a_2+a_1+a_0 \ [9]\end{align*}\)  
donc
  \(\begin{align*}N \text{ est divisible par } 9& \ \ \Longleftrightarrow \ \ N \equiv 0 \ [9]\\ & \ \ \Longleftrightarrow \ \ a_n+a_{n-1}+...+a_2+a_1+a_0 \equiv 0 \ [9]\\ & \ \ \Longleftrightarrow \ \ a_n+a_{n-1}+...+a_2+a_1+a_0 \text{ est divisible par } 9\end{align*}\)  

donc \(N\) est divisible par \(9\) si, et seulement si, la somme de ses chiffres est divisible par \(9\) .